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Caja


La caja de Edgeworth, recibe el nombre de su inventor, Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), y es una manera gráfica de representar la distribución potencial de los recursos tomando las curvas de indiferencia de dos individuos. Edgeworth hizo aportes importantes a la teoría económica neoclásica y contribuyó al desarrollo de la estadística económica. La presentación de este tema las hizo en conjunto con las curvas de indiferencia en su libro Mathematical Psychis: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences; Matemáticas psíquicas: Un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales, en 1881.

Aunque fue recibido con indiferencia en su época, fue alabado por Irving Fisher en su tesis doctoral, y ejerció una enorme influencia en Alfred Marshall, quien así lo expresó en sus Principios de Economía, de 1890. Su trabajo fue desarrollado posteriormente por Wilfredo Pareto en 1906 y se popularizó con la exposición de Arthur Bowley. La versión moderna de la figura se conoce comúnmente como la caja de Edgeworth-Bowley. Sobre la caja de Edgeworth y sus propuestas sobre la distribución de los recursos dedicamos este Concepto de Economía.



La caja de Edgeworth es un instrumento gráfico analítico que se utiliza con frecuencia en la teoría del equilibrio general, y que puede ayudar a encontrar el equilibrio competitivo de un sistema simple. Permite representar las dotaciones y las preferencias de dos personas y analizar el proceso de intercambio. Para ello debemos recordar las curvas de indiferencia individuales y que ellas no decían nada sobre la cantidad de recursos. Esta vez, los recursos son fijos (potenciales) y la interacción es entre dos personas (en este caso, Alex y Benjamin) que deben compartir una cantidad fija de los bienes 1 y 2.

La caja de Edgeworth es un diagrama rectangular en el cual Alex y Benjamin (A y B) se ubican en las aristas mientras la medición de los bienes se hace en los ejes. El Bien 1 se mide horizontalmente y el Bien 2 verticalmente. Puede apreciarse que los diagramas de A y B son idénticos, sólo que uno de ellos se ha invertido para traslaparlo a continuación del otro y conformar la caja. La anchura de la caja es la cantidad total del Bien 1 y su altura es la cantidad total del Bien 2. Por lo tanto, cada posible distribución de los bienes entre las dos personas se puede representar como un punto dentro del cuadro. Se dice que una asignación de los recursos es viable si la cantidad total utilizada de cada bien es igual a la cantidad total disponible. Esto significa:


cantidad total del Bien 1 = cantidad del Bien 1 de A + cantidad del Bien 1 de B

Lo mismo para el Bien 2.

En este análisis, se dibujan las curvas de indiferencia para A y B que representan las combinaciones de los bienes 1 y 2 que satisfacen el mismo nivel de utilidad. Recordemos que a lo largo de la curva de indiferencia la utilidad o satisfacción se mantiene constante, sin importar el valor monetario. Y a medida que nos alejamos del origen aumenta el nivel de utilidad. Esto indica que la curva a2 tiene mayor utilidad que la curva a1, que la curva a3 tiene mayor utilidad que la curva a2, etc., idem para las curvas de indiferencia del individuo B.

Un punto que merece especial interés es la asignación correspondiente a la dotación inicial de A y B, que es la asignación de la que parten los consumidores y que se indica en la gráfica con la letra W. Como vemos, en esta dotación inicial están agotados todos los recursos del Bien 1 y del Bien 2. A se ubica en la curva a3 y B está en su curva b2; cada uno consumiendo las cantidades potenciales de los bienes 1 y 2. La pregunta que interesó a Edgeworth y que da motivo al proceso de intercambio es ¿es esta una asignación eficiente?

Observemos las curvas de indiferencia que pasan por la dotación inicial W, a3 y b2. El área en la que A disfruta de un mayor bienestar del que le ofrece la dotación inicial está formada por todas las cestas que pasan por encima (arriba y a la derecha) de W. A su vez, el área en la que B disfruta de un mayor bienestar está formada por todas las asignaciones que se encuentran por encima (desde su punto de vista) de su curva de indiferencia que pasa por W (desde nuestro punto de vista, abajo, a la izquierda). Nótese del área achurada que forman las curvas de indiferencia a3 y b2, color naranja en la gráfica. Cualquier punto dentro de esa área es mutuamente ventajoso tanto para A como para B. Sin embargo, el proceso de negociación que se debe realizar para alcanzar un nivel de mayor utilidad, implica renunciar a una parte del bien que se tiene en exceso.

Como hemos hablado en otros artículos, las aportaciones morales de la economía clásica siempre estuvieron en el centro del análisis. En este caso, la región achurada es una zona que ofrece ventajas mutuas y que tiene un nivel de comercio potencial, pero para acceder a una parte del bien más escaso se requiere renunciar a una parte del bien que se posee en mayor abundancia. La idea de que los recursos son finitos estuvo en el origen del pensamiento económico, de ahí la necesidad de buscar la máxima eficiencia en su uso. Esta eficiencia velaba por una mejora de la equidad y de la dotación inicial.

La caja de Edgeworth ejemplifica varios conceptos claves de los mecanismos de intercambio y de las acciones que contribuyen al proceso de las asignaciones eficientes y al mejoramiento de la equidad. Cada punto de tangencia entre las curvas de indiferencia de A y B (como los puntos E y F de la gráfica), son puntos de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto. Se dice que una asignación es eficiente en el sentido de Pareto cuando no es posible mejorar el bienestar de uno de los agentes sin empeorar el del otro, es decir cuando no es posible realizar ningún intercambio que sea mutuamente ventajoso.

En este sentido, la importancia que tiene la dotación inicial es clave para comprender el nivel de eficiencia alcanzable por la vía del intercambio simple. Nótese que estos puntos eficientes en el sentido de Pareto, unen ambas aristas de la caja en esa linea imaginaria que se conoce como Curva de Contrato (color verde en la gráfica). Este término se basa en la idea de que todos los contratos finales de intercambio deben encontrarse en el conjunto de Pareto, de lo contrario no serían finales ya que todavía podría mejorarse el bienestar de ambas partes.

Más información | Mathematical Psychis: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences,

En El Blog Salmón | ¿Qué son las curvas de indiferencia?

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